Rolles sats

Olle Dahlberg, utredare arbetsmarknad & utbildning

Någon som kommer ihåg den från sin ingenjörsutbildning? Och varför ni lärde er den? Jag måste för min del erkänna att jag inte minns annat än att den flimrade förbi i första årskursens matematik, någon gång i slutet av sjuttiotalet. Bortsett från kursen där den ingick, och de teknologskämt den gav upphov till, har jag aldrig sett röken av vare sig Rolle eller hans sats. Inte i de tillämpade ämnena, och definitivt inte under min tid som konstruktör. En liten tröst, åtminstone för Michel Rolle (1652-1719) där han räknar på i sin himmel, kan vara att samma öde befors många andra satser.

Om någon visste på högskolan varför den var viktig att kunna för en blivande ingenjör, så kan jag inte heller minnas att det var något som förmedlades till oss studenter. Det är länge sedan nu, och jag hade helst velat tro att förhållandena idag vore andra. Att döma av svaren på den enkät förbundet skickade ut till nya ingenjörer i våras (läs hela rapporten här), finns dock frågetecknen – och säkert också skämten – fortfarande kvar, i synnerhet hos de nyblivna civilingenjörerna.

Kanske vore det därför förnuftigt att ta reda på vilka delar av det teoretiska godset som kommer till nytta under de fortsatta studierna och i yrkeslivet. Om det då inte gör det, blir följdfrågan: Ska det vara med ändå, och i så fall varför? Jag kan tänka mig några skäl, av olika kvalitet, här presenterade utan inbördes rangordning:

• Det ger en god tankens träning.
• Det håller dörren öppen för eventuell forskarutbildning.
• Det skänker teknologen ett grundmurat självförtroende när det gäller avancerad problemlösning – ”klarar jag detta, klarar jag allt”.
• Det utgör del av ämnets okränkbara grunder.
• Det hör till (ingenjörs)vetenskaplig allmänbildning.
• För säkerhets skull – vem vet vad framtiden bär i sitt sköte.
• Vi ska väl inte behöva skämmas inför, säg, franska ingenjörer i Rolles efterföljd.
• Det har alltid varit så.
• Om vi ger efter här, har vi öppnat portarna för en devalvering av utbildningen som leder till att den förlorar den status som den (och vi ingenjörer) åtnjuter i samhället.

Observera att detta inte ska tolkas som en uppmaning till allmän förflackning. Allt jag vill säga är att om sambandet mellan teoretiska och tillämpade ämnen är klart, finns förutsättningar för att studierna ska upplevas som meningsfulla. Finns andra skäl att lära sig viss materia, bör även dessa kommuniceras och vara både begripliga och trovärdiga. Om inte…ja, då kan vi väl glömma Rolle et al. och ge utrymme för allt annat som trängs och tävlar om att komma in i en modern civilingenjörsutbildning. Studierna är tunga nog ändå, och rekrytering och genomströmning gagnas i vart fall inte av eklut för eklutens skull.

Olle Dahlberg

"Vill helst se utsikten lite längre upp. Men boken är inte fel."

Relaterade inlägg
Kommentarer ( 5 )
  1. Martin Cederwall
    2009-12-10 at 10:06

    Hej Olle!
    Om du slår upp din gamla mattebok kommer du att se att Rolles sats används för att bevisa medelvärdessatsen, som i sin tur används ganska frekvent i analys. Jag är ganska säker på att din lärare var medveten om detta och förmedlade det. Anledningen att man inte tror att eller är medveten om att man tillämpar Rolles sats (eller medelvärdessatsen) är att den för en ingenjör eller naturvetare tillhör den grupp av matematiska självklarheter som man inte ens tycker behöver bevisas… men de används likafullt!

  2. Olle Dahlberg
    2009-12-10 at 10:23

    Hej Martin,
    Tack för kommentaren! Jag köper din invändning, och jag är inte helt omedveten om satsens värde. Den råkade bara tillhöra ett av många inslag som det raljerades kring i utbildningen (jag valde mellan den och en annan favorit: ”stort ordo”).

    Poängen jag ville lyfta här var att vår undersökning visar att så många ingenjörsstudenter även idag har svårt att se den röda tråden i utbildningen, och att särskilt civilingenjörer tycker att utbildningen är för teoretisk. Tyder det ändå inte på något slags kommunikationsproblem?

  3. Jan Ainali
    2009-12-12 at 13:12

    Jag tänkte bara tipsa om att det nästa vecka är tema Naturvetenskap och teknik i svenskspråkiga Wikipedias ”Veckans tävling”. Det känns relevant i detta sammanhang. Dagens ungdomar vänder sig gärna till Internet (läs google) och hamnar då ofta på Wikipedia men artiklarna kan såklart bli bättre och framförallt kanske mer pedagogiska. Att försöka skriva om något man nyss har lärt sig om så att någon annan kan förstå det (utan att plagiera!)tror jag är ett mycket bra sätt att få förståelse för ämnet.

    http://sv.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Veckans_tävling/Naturvetenskap_och_teknik

  4. Gunnar Johnsson
    2009-12-15 at 11:56

    Hej Olle.
    Jag håller med om att just Rolles sats nog har har statusen som det mest knastertorra inslaget i analyskurserna.
    Men att den ändå har hankat sig med så pass länge har några förklaringar.
    Dels har den ju en strategisk ställning genom att vara ett trappsteg till medelvärdessatsen och därmed till
    satserna om relationen mellan derivatans tecken och funktionens växande/avtagande ( huvudpoängen i differentailkalkylen ! )
    Och dels har den faktiskt en koppling till problemlösning i största allmänhet.
    Beviset är kort ( tre – fyra rader) med en viss poäng, nämligen följande:
    De reella talen karakteriseras ju av sina räkneregler (a(b+c) = ab+ac osv.) tillsammans med sin topologiska egenskap
    att sakna luckor ( i kontrast till ex.vis de rationella talen).
    Denna topologiska egenskap formuleras bl.a. i supremumaxiomet och har som följdsats att kontinuerliga funktioner på slutna intervall
    har ett största och ett minsta värde.
    Detta används på ett ställe i beviset vilket jag brukade framhäva som bevisets poäng.
    Insmugglandet av de reella talens topologi i beviset visar nämligen att satsen har en något djupare karaktär en de resultat som endast
    nås via räknereglerna och ex.vis derivatans definition.
    Den hårda vägen att inse skillnaden är att försöka bevisa satsen att om derivatan f ‘ =0 i ett intervall så är f = konstant där.
    Normalt misslyckas man med detta om man bara utgår från derivatadefinitionen. Rolle behövs nämligen, till skillnad från
    då man visar att derivatan av en konstant är 0.
    Så förståelse av Rolles bevis bör därför kunna ge en belysning av
    allmän problemlösning, där man diskuterar vilka olika kombinationer av matematisk information som är relevant.

    Men, det är kanske ändå dags att skrota Rolle om detta inte redan är gjort.
    Jag har undervisat i matematik i 40 år ( numera pensionär) och har naturligtvis också lagt märke till det omvittnade bistrare klimatet
    för högskoleundervisning i matematik.
    Resonemang av ovanstående typ, bevisanalys etc. , har ingen god jordmån bland studenter som är stressade av sin otillräckliga vana vid matematisk formalism (allmänna funktioner f, bokstaven ksi och annan jargong).
    Så de sista åren tonade jag ner sådana inslag mer och mer.
    Jag måste också erkänna att jag med åren blev ganska trött på den ganska distanslösa framställningen i matematisk kurslitteratur
    där resultaten presenteras utan större emfas på enskildheter, utan framhävande av eventuella poänger och utan större utblickar överhuvudtaget.

    Så visst, mer tillämpningar, kanske.
    Men kom ihåg matematikens viktiga roll att
    formulera de allmänna sanningar som tillämpare
    vill använda. Dessa allmänna formuleringar (frånlämpningar ?!) behöver man också syssla med
    och de som till slut lyckas med att behärska dem
    brukar sällan klaga på brist på tillämpningar.

  5. Olle Dahlberg
    2009-12-15 at 12:44

    Tack Gunnar, för din initierade och bara delvis knastertorra 🙂 kommentar. Du lyckades med konststycket att få mig att erinra mig varför jag faktiskt gillade matematikundervisningen på högskolan så mycket mer än i tidigare stadier.

    Sålunda tagen på bar gärning borde jag kanske därför göra helt om och slå ett slag för både Rolles och andra satser, särskilt som vi förra veckan fick se ytterligare en nedslående rapport (TIMSS) om matematikämnet i gymnasieskolan.

    Men även om jag kan hålla med om att den som tillägnat sig denna och andra grundläggande sanningar sällan klagar över sina insikter – och dessutom får användning för dem, frågar jag mig om detta måste vara normen för alla som studerar till ingenjör. Vore det rimligare att i och för sig ha kvar möjligheten, för dem vars håg står till bland annat detta, men att öppna för andra att ägna en större del av sina studier åt fördjupning i det som ligger dem närmast om hjärtat? Om det ändå är så att även de behöver Rolle för att få ett riktigt framgångsrikt yrkesliv, så borde det vara en smal sak för matematikläraren (ett enkelt bevis, måhända?) att övertyga dem om detta.

    Oss emellan, Gunnar: Din nyanserade kommentar förtjänar strängt taget inte en så raljant avslutning från min sida, men jag försvarar mig med att frågan är spännande och att jag hoppas på att fler ska ge sig in i diskussionen.

Lämna ett svar